KTR1 – Elektromagnetism II

Formler och lösningssteg per tema • Baserad på KTR1 2024–2026

Tema 1: Spegelladdningar

Förekommer i: Aug 2025Jan 2026Apr 2025Jan 2025Aug 2024

Kärnregel

Ersätt ledande plan med spegelladdningar så att $V = 0$ på planets yta.

Antal spegelladdningar = $\dfrac{360°}{\text{vinkel}} - 1$. Ett plan → 1 st; rät vinkel (90°) → 3 st; 60°-vinkel → 5 st.

Ytladdningstäthet vid ledande yta

$$\rho_s = \vec{D}\cdot\hat{n}\Big|_{\text{yta}} = \varepsilon_0\,\vec{E}\cdot\hat{n}\Big|_{\text{yta}}$$

$\hat{n}$ pekar ut från metallen.

Lösningssteg — ett metallplan

Placera en spegelladdning $-Q$ på spegelpositionen (lika långt på andra sidan planet).
Beräkna totala $\vec{E}$ från $Q$ och $-Q$ vid planets yta.
Använd randvillkoret: $\rho_s = \varepsilon_0\,\vec{E}\cdot\hat{n}$ vid ytan.

Resultat — tråd ovanför plan (Aug 2025):

$$\rho_s = -\frac{\rho_l}{\pi h}$$

Lösningssteg — rät vinkel (90°)

$Q$ vid $(a,b)$. Tre spegelladdningar: $-Q$ vid $(-a,b)$, $-Q$ vid $(a,-b)$, $+Q$ vid $(-a,-b)$.
Beräkna Coulombkraften från varje spegelladdning på $Q$.
Summera krafterna vektorvis ($\hat{x}$- och $\hat{y}$-komponenter separat).

Resultat — kraft vid rät vinkel (Jan 2026):

$$\vec{F} = \frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\left[\left(\frac{a}{(a^2+b^2)^{3/2}} - \frac{1}{a^2}\right)\hat{x} + \left(\frac{b}{(a^2+b^2)^{3/2}} - \frac{1}{b^2}\right)\hat{y}\right]$$

Lösningssteg — 60°-vinkel

Fem spegelladdningar: tre med $-Q$ och två med $+Q$, placerade var 60° runt origo.
Verifiera randvillkoret: för varje par $(+Q, -Q)$ med lika avstånd till planet gäller $V = 0$.

Kraft mot plan — punktladdning

Avstånd från laddning till plan givet kraft $F$ (Jan 2025):

$$d = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 |F|}}$$

Jämvikt — två laddningar vid plan (Aug 2024)

$Q > 0$ och $q$ på gemensam normal, avstånd $a$ från plan:

$$q = -\frac{40}{9}\,Q$$

Tema 2: Poissons / Laplaces ekvation

Förekommer i: Aug 2025Apr 2025Jan 2026Jan 2025Aug 2024

Grundekvationer

Utan fria laddningar (Laplace):

$$\nabla^2 V = 0$$

Med fria laddningar (Poisson):

$$\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon}$$

Cylindrisk symmetri — $V = V(R)$

$$\frac{1}{R}\frac{d}{dR}\left(R\frac{dV}{dR}\right) = 0 \quad\Longrightarrow\quad V(R) = C_1 \ln R + C_2$$

Integrera: $R\dfrac{dV}{dR} = C_1 \;\Rightarrow\; \dfrac{dV}{dR} = \dfrac{C_1}{R}$.
Integrera igen: $V(R) = C_1 \ln R + C_2$.
Applicera randvillkor: $V(a) = V_0$, $V(b) = 0$.
E-fältet: $\vec{E} = -\nabla V = -\dfrac{dV}{dR}\,\hat{R}$.

Resultat — koaxiella cylindrar (Aug 2025):

$$V(R) = V_0 \frac{\ln(R/b)}{\ln(a/b)}, \qquad \vec{E} = \frac{V_0}{\ln(b/a)}\cdot\frac{1}{R}\,\hat{R}$$

Sfärisk symmetri — $V = V(r)$

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dV}{dr}\right) = 0 \quad\Longrightarrow\quad V(r) = -\frac{C_1}{r} + C_2$$

Integrera: $r^2 \dfrac{dV}{dr} = C_1 \;\Rightarrow\; V(r) = -\dfrac{C_1}{r} + C_2$.
Applicera randvillkor: $V(a) = V_0$, $V(b) = 0$.
E-fältet: $\vec{E} = -\dfrac{dV}{dr}\,\hat{r}$.
D-fältet: $\vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\,\vec{E}$.

Resultat — sfärisk kondensator med $\varepsilon_r = \alpha/r^2$ (Apr 2025):

$$V(r) = \frac{b-r}{b-a}\,V_0, \qquad \vec{E} = \frac{V_0}{b-a}\,\hat{r}, \qquad \vec{D} = \frac{\varepsilon_0\alpha V_0}{(b-a)r^2}\,\hat{r}$$

Poissons ekvation — sfärisk laddningsfördelning (Jan 2025)

$\rho(r) = A(a-r)$ i sfär med radie $a$, $\varepsilon_r = 1$:

$$V(0) = \frac{Aa^3}{6\varepsilon_0}$$

Koaxialkabel med två dielektrika — energi (Jan 2026)

Från $\nabla\cdot\vec{D} = 0$ och cylindersymmetri: $D = \dfrac{Q}{2\pi R L}$ (oberoende av $\varepsilon_r$).
E-fältet i varje region: $E_i = \dfrac{D}{\varepsilon_0\varepsilon_{ri}}$.
Energitätheten: $w_e = \dfrac{1}{2}\vec{D}\cdot\vec{E} = \dfrac{D^2}{2\varepsilon_0\varepsilon_{ri}}$.
Integrera volymen i varje region: $W_e = \int w_e\, dV$.

$$W_e = \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 L}\left[\frac{\ln(b/a)}{\varepsilon_{r1}} + \frac{\ln(c/b)}{\varepsilon_{r2}}\right]$$

Tema 3: Energi och kraft i kondensator med dielektrikum

Förekommer i: Aug 2025Jan 2025Aug 2024

Elektrostatisk energi

$$W_e = \frac{1}{2}\int \vec{D}\cdot\vec{E}\,dV = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$$

Kapacitans — plattkondensator

$$C = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_r A}{d}$$

Kraft på dielektrikum

Konstant spänning (batteri kopplat):

$$\vec{F} = +\nabla W_e = +\frac{\partial W_e}{\partial x}$$

Konstant laddning:

$$\vec{F} = -\nabla W_e = -\frac{\partial W_e}{\partial x}$$

Lösningssteg — plattkondensator med ebonitplatta (Aug 2025)

Modellera som två parallellkopplade kondensatorer: en med $\varepsilon_r$ (bredd $x$) och en med $\varepsilon_0$ (bredd $L-x$).
Kapacitans: $C(x) = \dfrac{\varepsilon_0 L}{d}\left[(\varepsilon_r - 1)x + L\right]$.
Energi vid konstant spänning: $W_e = \dfrac{1}{2}C(x)U^2$.
Kraften drar in dielektrikumet.

$$W_e = \frac{\varepsilon_0 U^2 L}{2d}\left[(\varepsilon_r - 1)x + L\right], \qquad F = \frac{\varepsilon_0 U^2 L}{2d}(\varepsilon_r - 1)$$

Plattkondensator med inhomogent dielektrikum (Jan 2025)

$\varepsilon_r = 1 + z/d$, plattarea $A$, avstånd $d$, laddning $\pm Q$:

$$W_e = \frac{dQ^2}{2\varepsilon_0 A}\ln 2$$

Koaxialkondensator — energi (Aug 2024)

Koaxiella cylindrar med $\varepsilon_r = cR^2$:

$$W_e = 2\pi L\varepsilon_0 c\,\frac{a^2 b^2}{(b^2 - a^2)}\,U^2$$

Tema 4: Laddade partiklar i magnetfält (cirkelbana)

Förekommer i: Aug 2025Jan 2026Aug 2024

Nyckelformler

Lorentzkraft = centripetalkraft:

$$|q|vB = \frac{mv^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{mv}{|q|B}$$

Omloppstid:

$$T = \frac{2\pi m}{|q|B} \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{2\pi m}{|q|T}$$

Lösningssteg — joner accelererade med spänning (Aug 2025)

Energibalans: $qU_a = \dfrac{1}{2}mv^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\dfrac{2qU_a}{m}}$.
Cirkelbana i B-fält: $R = \dfrac{mv}{|q|B}$.
Kombinera och lös för $q$.

$$q = -\frac{2mU_a}{B^2 R^2}$$

Bestäm B från omloppstid (Jan 2026)

Elektron med $T = 0{,}42$ ns:

$$B = \frac{2\pi m_e}{eT} \approx 85 \text{ mT}$$

Tema 5: Magnetisk energi i toroid med positionsberoende $\mu_r$

Förekommer i: Apr 2025

Ampères lag inuti toroid

$$\oint \vec{H}\cdot d\vec{l} = NI \quad\Longrightarrow\quad H = \frac{NI}{2\pi R}$$

Lösningssteg — $\mu_r = \alpha R$

B-fältet: $B = \mu_0\mu_r H = \mu_0\alpha R \cdot \dfrac{NI}{2\pi R} = \dfrac{\mu_0\alpha NI}{2\pi}$ (konstant!).
Magnetisk energitäthet: $w_m = \dfrac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H} = \dfrac{B^2}{2\mu_0\mu_r}$.
Volymselement i toroid: $dV = 2\pi h R\,dR$.
Integrera:

$$W_m = \frac{\mu_0\alpha h(b-a)(NI)^2}{4\pi}$$

Tema 6: Linjeladdningstäthet (koaxialkabel)

Förekommer i: Apr 2025

Tråd med ström $I$, koaxiell metallcylinder med returström. Elektron $(-e)$ med hastighet $v\hat{z}$:

$$\rho_\ell = \varepsilon_0\mu_0 v I$$

Tema 7: Halleffekten

Förekommer i: Jan 2025

Strömtäthet $\vec{J} = J\hat{y}$, magnetfält $\vec{B} = B\hat{z}$, bredd $d$ i $\hat{x}$-riktning:

$$U_h = \frac{JBd}{nq}$$

Lorentzkraften $\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$ ger laddningsseparation → potentialskillnad.

Tema 8: Sfäriska skal med flera dielektrika

Förekommer i: Aug 2024

Koncentriska ledande skal (radier $a$, $b$), två dielektrika $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, spänningsskillnad $U$:

$$Q = \frac{-2\pi\varepsilon_0(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)abU}{b - a}$$

Sammanfattning: Formler som alltid behövs

Randvillkor vid ledande yta:

$$\rho_s = \vec{D}\cdot\hat{n}\Big|_{\text{yta}}$$

Elektrostatisk energi:

$$W_e = \frac{1}{2}\int\vec{D}\cdot\vec{E}\,dV = \frac{1}{2}CV^2$$

Kraft på dielektrikum:

$$\vec{F} = \pm\nabla W_e$$

Cirkelbana i B-fält:

$$R = \frac{mv}{|q|B}, \quad T = \frac{2\pi m}{|q|B}$$

Laplace (cylindrisk):

$$V = C_1\ln R + C_2$$

Laplace (sfärisk):

$$V = -\frac{C_1}{r} + C_2$$

Ampères lag:

$$\oint\vec{H}\cdot d\vec{l} = I_{\text{innesluten}}$$

E-fält från potential:

$$\vec{E} = -\nabla V$$

OBS: Vid konstant spänning (batteri kopplat): $F = +\dfrac{\partial W_e}{\partial x}$. Vid konstant laddning: $F = -\dfrac{\partial W_e}{\partial x}$. Glöm inte tecknet!

OBS: D-fältet beror bara på fria laddningar: $\nabla\cdot\vec{D} = \rho_f$. I cylindersymmetri med laddning $Q$ på längd $L$: $D = \dfrac{Q}{2\pi R L}$, oavsett dielektrikum.

Fullständiga lösningsgångar – KTR1 • TFYB09 Elektromagnetism II

Problem A: Spegelladdning vid ett metallplan

Aug 2025 uppg 1 Jan 2025 uppg 1

En lång rak tråd med linjeladdningstäthet $\rho_\ell$ ligger på höjden $h$ ovanför ett jordat metallplan. Bestäm ytladdningstätheten $\rho_s$ i punkten P rakt under tråden.

Figur A1: Tråd ovanför metallplan och dess spegelbild.

1 Spegelmetoden
Ersätt metallplanet med en spegeltråd $-\rho_\ell$ på avståndet $h$ under planet.

2 E-fält från en lång laddad tråd
$$\vec{E} = \frac{\rho_\ell}{2\pi\varepsilon_0 s}\,\hat{s}$$

3 Superposition i P
Båda trådarna bidrar i samma riktning (nedåt) i P: $$E_{\text{tot}} = \frac{\rho_\ell}{2\pi\varepsilon_0 h} + \frac{\rho_\ell}{2\pi\varepsilon_0 h} = \frac{\rho_\ell}{\pi\varepsilon_0 h} \quad(\text{riktning: }-\hat{n})$$

4 Ytladdningstäthet
$$\rho_s = \varepsilon_0\,\vec{E}\cdot\hat{n} = -\varepsilon_0 \cdot \frac{\rho_\ell}{\pi\varepsilon_0 h}$$

SVAR: $$\boxed{\rho_s = -\frac{\rho_\ell}{\pi h}}$$

Problem B: Spegelladdningar vid rät vinkel (90°)

Jan 2026 uppg 1

En laddning $Q$ befinner sig vid $(a, b, 0)$ nära två jordade ledande halvplan i $xz$- och $yz$-planet (rät vinkel). Bestäm kraften på $Q$.

Figur B1: Laddning Q vid (a,b) med tre spegelladdningar. F₁, F₂ är attraktion och F₃ repulsion.

1 Identifiera spegelladdningarna
Rät vinkel → $360°/90° - 1 = 3$ spegelladdningar: $$q_1 = -Q \text{ vid } (-a,\,b), \quad q_2 = -Q \text{ vid } (a,\,-b), \quad q_3 = +Q \text{ vid } (-a,\,-b)$$

2 Avstånd
$$r_1 = 2a, \qquad r_2 = 2b, \qquad r_3 = 2\sqrt{a^2+b^2}$$

3 Krafter
$$\vec{F}_1 = -\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 a^2}\,\hat{x}, \qquad \vec{F}_2 = -\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 b^2}\,\hat{y}$$ $$\vec{F}_3 = \frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0(a^2+b^2)}\cdot\frac{a\,\hat{x}+b\,\hat{y}}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

4 Summera
$$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3$$

SVAR: $$\boxed{\vec{F} = \frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\left[\left(\frac{a}{(a^2+b^2)^{3/2}} - \frac{1}{a^2}\right)\hat{x} + \left(\frac{b}{(a^2+b^2)^{3/2}} - \frac{1}{b^2}\right)\hat{y}\right]}$$

Problem C: Laplaces ekvation — koaxiella cylindrar

Aug 2025 uppg 2

Koaxiella metallcylindrar med radier $a$ och $b$ ($a < b$). Inre cylindern: $V = V_0$. Yttre: $V = 0$. Vakuum emellan. Bestäm $V(R)$ och $\vec{E}(R)$.

Figur C1: Tvärsnitt av koaxiella cylindrar.

1 Laplaces ekvation i cylinderkoordinater
$$\nabla^2 V = \frac{1}{R}\frac{d}{dR}\left(R\frac{dV}{dR}\right) = 0$$

2 Första integrationen
$$R\frac{dV}{dR} = C_1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dR} = \frac{C_1}{R}$$

3 Andra integrationen
$$V(R) = C_1 \ln R + C_2$$

4 Randvillkor
$V(a) = V_0$: $\;C_1\ln a + C_2 = V_0$
$V(b) = 0$: $\;C_1\ln b + C_2 = 0$

Subtrahera: $C_1 = \dfrac{V_0}{\ln(a/b)}$, och $C_2 = -C_1\ln b$

5 E-fältet
$$\vec{E} = -\frac{C_1}{R}\,\hat{R} = \frac{V_0}{\ln(b/a)}\cdot\frac{1}{R}\,\hat{R}$$

SVAR: $$\boxed{V(R) = V_0\frac{\ln(R/b)}{\ln(a/b)}}, \qquad \boxed{\vec{E} = \frac{V_0}{\ln(b/a)}\cdot\frac{1}{R}\,\hat{R}}$$

Problem D: Poissons ekvation — sfärisk laddningsfördelning

Jan 2025 uppg 3

I ett sfäriskt område med radie $a$ finns $\rho(r) = A(a - r)$. Utanför: $\rho = 0$, $\varepsilon_r = 1$. Beräkna $V(0)$ med $V(\infty) = 0$.

Figur D1: Sfärisk laddningsfördelning. Tätheten avtar linjärt med r.

1 Innesluten laddning (Gauss)
$$Q_{\text{innesluten}}(r) = \int_0^r A(a-r')4\pi r'^2\,dr' = 4\pi A\left[\frac{ar^3}{3} - \frac{r^4}{4}\right]$$

2 E-fält
Inuti ($r \le a$): $\displaystyle E(r) = \frac{A}{\varepsilon_0}\left[\frac{ar}{3} - \frac{r^2}{4}\right]$
Utanför ($r > a$): $\displaystyle E(r) = \frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \quad Q_{\text{tot}} = \frac{\pi A a^4}{3}$

3 Potential via integration
$$V(0) = \int_0^\infty E\,dr = \underbrace{\int_0^a E_{\text{in}}\,dr}_{I_1} + \underbrace{\int_a^\infty E_{\text{ut}}\,dr}_{I_2}$$ $I_1 = \dfrac{Aa^3}{12\varepsilon_0}$, \quad $I_2 = \dfrac{Aa^3}{12\varepsilon_0}$

SVAR: $$\boxed{V(0) = \frac{Aa^3}{6\varepsilon_0}}$$

Problem E: Kondensator med dielektrikum — energi & kraft

Aug 2025 uppg 3

Plattkondensator med plattavstånd $d$, kvadratiska plattor ($L \times L$), konstant spänning $U$. En ebonitplatta ($\varepsilon_r$) skjuts in sträckan $x$. Bestäm lagrad energi och kraften på ebonitplattan.

Figur E1: Ebonitplatta delvis inskjuten i plattkondensator kopplad till batteri.

1 Parallellkopplade kondensatorer
$$C(x) = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_r\cdot xL}{d} + \frac{\varepsilon_0(L-x)L}{d} = \frac{\varepsilon_0 L}{d}\Big[(\varepsilon_r - 1)x + L\Big]$$

2 Lagrad energi vid konstant spänning
$$W_e = \frac{1}{2}C(x)\,U^2 = \frac{\varepsilon_0 L\,U^2}{2d}\Big[(\varepsilon_r - 1)x + L\Big]$$

3 Kraft — konstant spänning
Vid konstant $V$: $F = +\dfrac{\partial W_e}{\partial x}$

Teckenregel: Konstant $V$: $F = +\partial W_e/\partial x$. Konstant $Q$: $F = -\partial W_e/\partial x$.

SVAR: $$\boxed{W_e = \frac{\varepsilon_0 L\,U^2}{2d}\Big[(\varepsilon_r - 1)x + L\Big]}, \qquad \boxed{F = \frac{\varepsilon_0 L\,U^2}{2d}(\varepsilon_r - 1)}$$

Problem F: Koaxialkabel med två dielektrika — energi

Jan 2026 uppg 2

Koaxialkabel med längd $L$, innerledare radie $a$, ytterledare radie $c$. Två isolerande material: $\varepsilon_{r1}$ för $a < R < b$, $\varepsilon_{r2}$ för $b < R < c$. Inre: $+Q$, yttre: $-Q$. Bestäm elektrostatisk energi.

Figur F1: Koaxialkabel med två dielektriska regioner.

1 D-fältet (oberoende av dielektrikum)
$$\vec{D} = \frac{Q}{2\pi R L}\,\hat{R}$$

2 E-fältet i respektive region
$$\vec{E}_i = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{ri} R L}\,\hat{R}$$

3 Energitäthet
$$w_e = \frac{D^2}{2\varepsilon_0\varepsilon_{ri}} = \frac{Q^2}{8\pi^2\varepsilon_0\varepsilon_{ri}R^2L^2}$$

4 Integrera energin
$$W_e = \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 L}\int_a^b \frac{dR}{\varepsilon_{r1}R} + \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 L}\int_b^c \frac{dR}{\varepsilon_{r2}R}$$

SVAR: $$\boxed{W_e = \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 L}\left[\frac{\ln(b/a)}{\varepsilon_{r1}} + \frac{\ln(c/b)}{\varepsilon_{r2}}\right]}$$

Problem G: Sfärisk kondensator med $\varepsilon_r(r)$

Apr 2025 uppg 1

Sfärisk kondensator: inre klot radie $a$, yttre sfär radie $b$ (jordad). Dielektrikum $\varepsilon_r = \alpha/r^2$, inre klotet har $V_0$. Bestäm $V(r)$, $\vec{E}(r)$ och $\vec{D}(r)$.

1 Ekvation med inhomogent medium
$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\varepsilon_r(r)\frac{dV}{dr}\right) = 0$$

2 Sätt in $\varepsilon_r = \alpha/r^2$
$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(\alpha\frac{dV}{dr}\right) = \frac{\alpha}{r^2}\frac{d^2V}{dr^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^2V}{dr^2} = 0$$ Lösning: $V(r) = C_1 r + C_2$ (linjär i r, inte $1/r$!)

3 Randvillkor
$V(b) = 0$ och $V(a) = V_0$ ger $C_1 = \dfrac{-V_0}{b-a}$, $C_2 = \dfrac{V_0 b}{b-a}$ $$V(r) = \frac{b-r}{b-a}\,V_0$$

4 Fälten
$$\vec{E} = \frac{V_0}{b-a}\hat{r}, \qquad \vec{D} = \frac{\varepsilon_0\alpha V_0}{(b-a)r^2}\hat{r}$$

Nyckelinsikt: $\varepsilon_r = \alpha/r^2$ tar ut $r^2$-faktorn i Laplacian → ekvationen förenklas till $d^2V/dr^2 = 0$, vilket ger linjär (inte $1/r$) potential.

SVAR: $$\boxed{V(r) = \frac{b-r}{b-a}\,V_0}, \qquad \boxed{\vec{E} = \frac{V_0}{b-a}\hat{r}}, \qquad \boxed{\vec{D} = \frac{\varepsilon_0\alpha V_0}{(b-a)r^2}\hat{r}}$$

Problem H: Laddad partikel i magnetfält — cirkelbana

Aug 2025 uppg 4 Jan 2026 uppg 3

Variant 1 (Aug 2025): Joner (massa $m$) accelereras från vila med spänning $U_a$, skjuts vinkelrätt in i fält $B$. Halvcirkel med diameter 89,4 cm. Bestäm jonernas laddning.

Variant 2 (Jan 2026): Elektron med omloppstid $T = 0{,}42$ ns. Bestäm $B$.

Figur H1: Jon accelereras genom U_a och beskriver en halvcirkel i magnetfältet.

Variant 1: Bestäm laddning från U_a, B och R

1 Energikonservering
$$|q|U_a = \frac{1}{2}mv^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2|q|U_a}{m}}$$

2 Cirkelbana
$$|q|vB = \frac{mv^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{mv}{|q|B}$$

3 Eliminera v
$v^2 = \dfrac{2|q|U_a}{m}$ och $v^2 = \dfrac{q^2B^2R^2}{m^2}$ kombineras: $$|q| = \frac{2mU_a}{B^2R^2}$$

SVAR (Variant 1): $$\boxed{q = -\frac{2mU_a}{B^2R^2}}$$ Numeriskt: $q = -3{,}2\times10^{-19}$ C $= -2e$

Variant 2: Bestäm B från omloppstid

1 Omloppstid
$$T = \frac{2\pi m}{|q|B} \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{2\pi m}{|q|T}$$

SVAR (Variant 2): $$\boxed{B = \frac{2\pi m_e}{eT} \approx 85 \text{ mT}}$$

Problem I: Toroid med $\mu_r = \alpha R$ — magnetisk energi

Apr 2025 uppg 3

Toroid med rektangulärt tvärsnitt, innerradie $a$, ytterradie $b$, höjd $h$, $N$ varv, ström $I$. Material: $\mu_r = \alpha R$. Beräkna lagrad magnetisk energi.

Figur I1: Tvärsnitt av toroid. R mäter avstånd från symmetriaxeln.

1 H-fältet via Ampères lag
$$H\cdot 2\pi R = NI \quad\Longrightarrow\quad H = \frac{NI}{2\pi R}$$

2 B-fältet
$$B = \mu_0\mu_r H = \mu_0\cdot\alpha R\cdot\frac{NI}{2\pi R} = \frac{\mu_0\alpha NI}{2\pi} \quad\text{(konstant!)}$$

3 Energitäthet
$$w_m = \frac{B^2}{2\mu_0\mu_r} = \frac{\mu_0\alpha(NI)^2}{8\pi^2 R}$$

4 Integrera
$$W_m = 2\pi h\int_a^b w_m\,R\,dR = \frac{\mu_0\alpha h(NI)^2}{4\pi}\int_a^b dR$$

SVAR: $$\boxed{W_m = \frac{\mu_0\alpha h(b-a)(NI)^2}{4\pi}}$$

Problem J: Halleffekten

Jan 2025 uppg 4

Hallelement med $\vec{J} = J\hat{y}$, $\vec{B} = B\hat{z}$, bredd $d$ i $\hat{x}$-riktning. Laddningsbärare: $n$ st/volym, laddning $q$. Härled Hallspänningen $U_h$.

Figur J1: Hallelement. Lorentzkraften driver positiva bärare mot +x-sidan.

1 Drifthastighet
$$\vec{v} = \frac{\vec{J}}{nq} = \frac{J}{nq}\,\hat{y}$$

2 Lorentzkraft
$$\vec{F} = q(\vec{v}\times\vec{B}) = \frac{JB}{n}\,\hat{x} \quad\text{(positiv laddning → }+\hat{x}\text{)}$$

3 Jämvikt
Ansamling skapar E-fält i $-\hat{x}$ tills jämvikt: $E_x = \dfrac{JB}{nq}$, och $U_h = E_x\cdot d$

SVAR: $$\boxed{U_h = \frac{JBd}{nq}}$$ Ytan vid $x = d$ blir positiv (om $q > 0$).

Problem K: Spegelladdning vid 60°-vinkel

Apr 2025 uppg 4

Punktladdning $Q$ mitt emellan två jordade ledande plan som bildar 60°. Rita spegelladdningarna och motivera att randvillkoren uppfylls.

Figur K1: Sex laddningar (1 verklig + 5 spegelbilder) var 60° runt spetsen.

1 Antal spegelladdningar
$360°/60° - 1 = 5$ spegelbilder. Totalt 6 laddningar med alternerande tecken: $+Q,\,-Q,\,+Q,\,-Q,\,+Q,\,-Q$

2 Verifikation av randvillkor
Varje laddning ovanför planet har en lika stor men motsatt laddning på samma avstånd nedanför → tre spegelpar med $V_{\text{par}} = 0$ på planet. $$V_{\text{par}} = \frac{+Q}{4\pi\varepsilon_0 r} + \frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 r} = 0$$

Slutsats: Randvillkoren $V = 0$ på båda planen uppfylls av symmetrin hos de sex laddningarna.

Problem L: Plattkondensator med inhomogent dielektrikum

Jan 2025 uppg 2

Plattkondensator med area $A$, avstånd $d$, dielektrikum $\varepsilon_r = 1 + z/d$ där $z$ mäts från en platta. Laddning $\pm Q$. Bestäm lagrad energi.

1 D-fältet
Ingen fri laddning inuti → $D = Q/A$ (konstant).

2 E-fältet
$$E(z) = \frac{D}{\varepsilon_0\varepsilon_r(z)} = \frac{Qd}{\varepsilon_0 A(d + z)}$$

3 Energi via integration
$$W_e = \frac{1}{2}\int_0^d D\cdot E(z)\cdot A\,dz = \frac{dQ^2}{2\varepsilon_0 A}\int_0^d\frac{dz}{d+z} = \frac{dQ^2}{2\varepsilon_0 A}\ln 2$$

SVAR: $$\boxed{W_e = \frac{dQ^2}{2\varepsilon_0 A}\ln 2}$$

Sammanställt utifrån KTR1-tentamina Aug 2024, Jan 2025, Apr 2025, Aug 2025, Jan 2026
TFYB09 Elektromagnetism II, Linköpings universitet

Elektromagnetism II – KTR1